47
DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.
ne soit pas extérieur à l’intervalle positif ou négatif
. En d’autres termes, on a
et
![{\displaystyle 0\leqq y^{2}\leqq {\overline {f(x)}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1b0b2d65a19bd0d0ba94fc81300e2f30e9729f)
.
L’axe des
partage cet ensemble en deux autres : les points situés au-dessus de
forment
, ceux qui sont au-dessous forment
. Quant aux points situés sur
, on les mettra indifféremment dans
ou
, cela importe peu dans la suite, car ils forment un groupe intégrable du plan.
Par analogie avec la définition précédente, il est naturel d’appeler intégrale de
la différence
![{\displaystyle \mathrm {I} =e[\mathrm {E} _{1}(f)]-e[\mathrm {E} _{2}(f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7df197102eff94dd4158979dd6765496bc8140)
,
lorsque
et
sont mesurables J.
Lorsqu’un ensemble n’est pas mesurable J, son étendue peut être considérée comme un nombre indéterminé dont les deux limites d’indétermination sont les étendues intérieure et extérieure de l’ensemble ; cela conduit, pour
, aux deux limites d’indétermination
![{\displaystyle {\underline {\mathrm {I} }}=e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a648a6d391a1b2ce361b581f5f37ebe73234800)
,
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {I} }}=e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0d4490264975508b8c0891fc4c0d8c1a3895)
.
Nous allons calculer ces deux limites d’indétermination et pour cela supposons d’abord que
n’est jamais négative, c’est-à-dire que
ne contient aucun point. Le calcul des étendues intérieure et extérieure de
(ou
) se fait comme dans le cas où
est continue, c’est-à-dire que ces étendues sont les limites des deux nombres
et
. Les étendues sont donc les intégrales par défaut et par excès de
.
Pour étudier le cas général posons
, où
est égale à
quand
est positive ou nulle, et est nulle quand
est négative. On a alors, évidemment,
![{\displaystyle e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509d902502bed6db16fbb6a9f3ab15e5f79ca7ee)
,
![{\displaystyle e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ded85b7a482a6d7d4b61e32766525d71c893fea)
,
![{\displaystyle e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\underline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac083220dd51d3ae8e242af5659bd33dfeb31f7a)
,
![{\displaystyle e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\overline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829a3a10281c30a66ed017afb67721bbada5e02e)
,
donc
![{\displaystyle {\underline {\mathrm {I} }}={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\underline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b8d080b2fe79e5c3a60fdbffb84628e0f1b417)
,
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {I} }}={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\overline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a0b5ffdfd6c74ec90f4933172152b36045b35b)
,