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CHAPITRE III.

II. — Définition de l’intégrale.

Soit une fonction $f(x)$ continue positive, définie dans un intervalle positif ${(a,b)}$, et le domaine $ab\mathrm {BA}$ que nous lui avons attaché (fig. 1, p. 2). Cherchons si ce domaine est quarrable. Pour cela, divisons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{p}$. Le plus grand rectangle, de base $\delta _{i}$ et dont tous les points font partie du domaine $ab\mathrm {BA}$, a pour hauteur la limite inférieure $l_{i}$ de $f$ dans $\delta _{i}$. Le plus petit rectangle, de base $\delta _{i}$ et qui contient tous les points du domaine qui se projettent sur $\delta _{i}$, a pour hauteur la limite supérieure $\mathrm {L} _{i}$ de $f$ dans $\delta _{i}$.

De ceci résulte que les deux sommes

${\underline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\delta _{i}l_{i}$,${\overline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\delta _{i}\mathrm {L} _{i}$

tendent, quand le maximum des $\delta$ tend vers zéro, vers des limites déterminées qui sont les étendues intérieure et extérieure du domaine. Or ${{\underline {\mathrm {S} }}-{\overline {\mathrm {S} }}}$ tend vers zéro, car les fonctions continues sont à oscillation moyenne nulle ; le domaine $ab\mathrm {BA}$ est donc quarrable.

Si nous employons la méthode du début, si nous appelons intégrale définie de $f$ dans ${(a,b)}$ l’aire de $ab\mathrm {BA}$, nous retrouvons l’intégrale de Cauchy. Il n’y a, entre cette définition et celle de Cauchy, que des différences de forme.

Dans le cas où $f(x)$ n’est pas toujours positive, la courbe $\mathrm {AB}$ rencontre l’axe des $x$ un nombre fini ou infini de fois et l’on a deux espèces de domaines, les uns au-dessus de $o\,x$, les autres au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d’après ce qui précède.

La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de $o\,x$, diminuée de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par définition, l’intégrale de $f(x)$^[1].

Considérons maintenant une fonction $f(x)$ quelconque, définie dans l’intervalle positif ${(a,b)}$. Soit $\mathrm {E} (f)$ l’ensemble des points dont les deux coordonnées sont liées par la seule condition que $y$

1. Les deux sommes ou séries qui figurent dans cette définition existent bien, puisque l’ensemble de tous les domaines peut être enfermé dans une circonférence de rayon fini.