Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/87

71

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

II. — Les nombres dérivés.

L’intégration s’applique à des fonctions qui ne sont pas des fonctions dérivées. Une fonction nulle partout, sauf pour ${x=0}$, n’est pas une fonction dérivée, puisque sa fonction primitive, si elle existait, devrait être continue, constante pour $x$ positif, et pour $x$ négatif, donc toujours constante et cependant sa dérivée ne serait pas nulle pour ${x=0}$. Ceci montre que les notions d’intégrale indéfinie et de fonction primitive sont différentes.

Il semble que l’on ait admis pendant longtemps que la première de ces notions comprend la seconde et que, par suite, l’intégration permet toujours de résoudre le problème de la recherche des fonctions primitives. En tout cas, au lieu de s’occuper de ce problème, on a étudié quels services pouvait rendre l’intégration dans la résolution de problèmes, généralisations, en des sens divers, du problème des fonctions primitives.

Pour l’étude de ces problèmes il nous sera utile de connaître quelques propriétés des nombres dérivés.

Soit $f(x)$ une fonction continue^[1], prenons le rapport

$r[f(x),x_{0},x_{0}+h]={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ ;

et faisons tendre $h$ vers zéro. Si nous assujettissons $h$ à ne prendre que des valeurs négatives, la plus petite et la plus grande des limites du rapport sont les deux nombres dérivés à gauche au point $x_{0}$. Ces deux nombres, qui ont été définis et étudiés par P. Du Bois Reymond et Dini, sont encore appelés les extrêmes oscillatoires antérieurs. La plus petite limite est le nombre dérivé inférieur à gauche, la plus grande limite est le nombre dérivé supérieur à gauche.

somme des intégrales dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$. Pour que l’intégrale d’une somme soit la somme des intégrales, il faut ajouter que l’étendue extérieure de $\mathrm {E}$ doit être nulle. À ces questions se rattachent des travaux de Harnack (Math. Ann., Bd XXI, XXIV), Hölder (Math. Ann., Bd XXIV), de la Vallée Poussin (J. de Liouville, série 4, vol. VIII), Stolz (Wiener Berichte, Bd CVII), Moore (Trans. Amer. Math. Soc., vol. II).

1. On peut aussi considérer le cas des fonctions discontinues, mais les définitions du texte nous suffiront.