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CHAPITRE V.

lesquels une intégrale indéfinie n’admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent à l’ensemble des points de discontinuité de la fonction intégrée $f(x)$. Ainsi, les points sans dérivée sont encore, à un certain égard, exceptionnels.

Lorsqu’une fonction $f(x)$ est bornée, mais non intégrable, on peut lui attacher les deux intégrales indéfinies par excès et par défaut

${\overline {\mathrm {F} (x)}}={\overline {\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x}}+\mathrm {K}$,${\underline {\mathrm {F} (x)}}={\underline {\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x}}+\mathrm {K}$.

Ces deux fonctions sont continues, à variation bornée, et admettent $f$ pour dérivée en tous les points où $f$ est continue^[1].

À la notion d’intégrale indéfinie se rattache une généralisation importante de l’intégrale définie.

Si une fonction $f(x)$ définie dans ${(a,b)}$ est non intégrable dans ${(a,b)}$ mais intégrable dans tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ intérieur à ${(a,b)}$, on peut espérer définir une intégrale dans ${(a,b)}$ en posant en principe la continuité de l’intégrale indéfinie et en appliquant les méthodes de Cauchy.

On voit facilement que les conditions supposées ne sont jamais réalisées si $f(x)$ est bornée. Mais, si $f(x)$ n’est pas bornée, on peut être conduit par la méthode de Cauchy à un nombre déterminé ; il en sera ainsi en particulier si, autour de $a$ et $b$, $|f(x)|$ est inférieure à une fonction d’ordre d’infinitude déterminé, inférieur à 1^[2].

On peut refaire au sujet de l’intégrale de Riemann tous les raisonnements faits au sujet de l’intégrale de Cauchy et des procédés de Cauchy-Dirichlet ; je n’insiste pas sur ce point^[3].

1. La propriété relative à l’ensemble des points sans dérivée est donc vraie aussi pour les intégrales par excès et par défaut ; nous verrons d’ailleurs plus tard qu’elle appartient à toutes les fonctions à variation bornée.
2. D’une manière plus générale, on peut appliquer tous les théorèmes que l’on donne ordinairement relativement à l’existence d’une intégrale quand la quantité placée sous le signe d’intégration devient infinie en un point.
3. À ces questions se rattache une généralisation de l’intégrale exposée par Jordan dans le Tome II de la deuxième édition de son Cours d’Analyse. Si les généralisations du texte permettent de définir l’intégrale de $f(x)$ dans tout intervalle contigu à un ensemble fermé $\mathrm {E}$, Jordan appelle intégrale de $f(x)$ la