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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

${\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}$, sont alors nuls. Si nous appliquons alors le théorème précédent à l’intervalle ${(a,x)}$, nous avons :

La condition nécessaire et suffisante pour que le nombre dérivé ${\Lambda f}$ partout fini, d’une fonction continue $f(x)$ soit sommable, est que $f(x)$ soit à variation bornée.

La fonction primitive $f(x)$ de ${\Lambda f}$ est alors l’intégrale indéfinie, fonction d’une variable, de ${\Lambda f}$.

Nous pouvons donc dire que nous savons résoudre les problèmes A′, B′, C′ (p. 78), et par suite les problèmes A, B, C, pour toutes les fonctions sommables.

Il y a un autre cas dans lequel ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}$ sont tous nuls, c’est celui où $f(x)$ est absolument continue ; car alors $\mathrm {V(I)}$ tend vers zéro avec ${m(\mathrm {I} )}$. Donc : une fonction absolument continue est l’intégrale indéfinie de chacun de ses quatre nombres dérivés^[1], sa variation totale est l’intégrale indéfinie de la valeur absolue de l’un quelconque de ses nombres dérivés.

Maintenant que nous avons cet énoncé à notre disposition, nous pouvons remplacer certains résultats antérieurs par de simples conditions suffisantes d’absolue continuité :

Une fonction continue $f$, qui a son nombre dérivé ${\Lambda f}$ partout fini et sommable dans ${(a,b)}$, y est absolument continue.

Une fonction continue et à variation bornée $f(x)$, qui a son nombre dérivé ${\Lambda f}$ partout fini dans ${(a,b)}$, y est absolument continue.

Revenons au cas général dans lequel $\mathrm {E} ^{i}$ existe et où les nombres ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}$ ne sont pas nécessairement nuls.

Alors, si l’on considère un ensemble $\mathrm {J}$ d’intervalles non empiétants, on a, en appelant $e^{ip}$ la partie de $\mathrm {E} ^{ip}$ située dans $\mathrm {J}$

$\mathrm {P(J)} =\int _{\mathrm {J} }{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P} (e^{ip})$ ;

On remarquera que l’idée de M. de la Vallée Poussin contient déjà en puissance les notions de fonction et d’ensemble des singularités. Ces notions et toutes celles relatives aux fonctions d’ensemble ont été examinées dans mon Mémoire : Sur l’intégration des fonctions discontinues (Ann. sc. de l’Éc. Norm., 1910).

1. Il est bien entendu que, pour la conception de cette intégrale indéfinie, on néglige l’ensemble $\mathrm {E} ^{i}$ de mesure nulle, formé par les points en lesquels le nombre dérivé considéré ${\Lambda f}$ est infini. Ou, ce qui revient au même, on prend l’intégrale de la fonction nulle aux points de $\mathrm {E} ^{i}$, égale à ${\Lambda f}$ ailleurs.