Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/252

236

CHAPITRE X.

une infinité de termes positifs et de somme $+\infty$, ni toujours une infinité de termes négatifs et de somme $-\infty$, pour tout intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$, c’est qu’il existe un tel intervalle ${(l,m)}$ pour lequel la série ${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ est convergente. Supprimons les points de $\mathrm {E}$ en dehors de ${(l,m)}$, nous pouvons dire que ${\sum _{(a,b)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ est convergente.

Supposons que ${\mathrm {G} (x)}$ ne soit à variation bornée dans aucun intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$. Alors, soit ${(l,m)}$ un intervalle qui contient des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur. Dans ${(l,m)}$, ${\mathrm {G} (x)}$ est à variation non bornée ; on peut donc trouver dans ${(l,m)}$ des intervalles en nombre fini et dont l’ensemble $\mathrm {I}$ fournit une valeur ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$ aussi grande que l’on veut. On peut d’ailleurs retrancher de $\mathrm {I}$ un nombre quelconque d’intervalles ne contenant pas de points de $\mathrm {E}$ à leur intérieur, car ceci ne modifie ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$ que de

${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }|\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )|}$

au plus. Par suite, on peut prendre les intervalles $\mathrm {I}$ ayant pour origines des points de $\mathrm {E}$, non origines d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$, et pour extrémités des points de $\mathrm {E}$, non extrémités d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$, et cela en supposant $\mathrm {I}$ de mesure aussi petite que l’on veut. Dans un tel ensemble $\mathrm {I}$, on a ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {I} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$.

Ceci étant, choisissons dans ${(a,b)}$ une suite d’ensembles d’intervalles $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {I} _{2}$, …, satisfaisant aux conditions suivantes : chacun d’eux contient les suivants, les mesures des $\mathrm {I} _{p}$ tendent vers zéro, chaque origine d’un intervalle doit avoir à sa droite des points de $\mathrm {E}$ aussi près que l’on veut, et chaque extrémité doit avoir à sa gauche des points de $\mathrm {E}$ dont il est point limite, les origines et extrémités des intervalles de $\mathrm {I} _{k-1}$ sont origines et extrémités d’intervalles de $\mathrm {I} _{k}$ ; enfin, la partie $i_{k}$ de $\mathrm {I} _{k}$ contenue dans l’un quelconque des intervalles de $\mathrm {I} _{k-1}$, doit donner une valeur supérieure à $k$ pour ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(i_{k})}$. Il est clair que le complémentaire $\mathrm {J} _{k}$ de $\mathrm {I} _{k}$ fournit un accroissement ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {J} _{k})}$ qui tend vers $-\infty$ puisque l’on a

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)={\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {I} _{k})+{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {J} _{k})$ ;