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LA TOTALISATION.

${(\beta _{1},b_{1})}$, …, ${(a_{i},\alpha _{i})}$, ${(\beta _{i},b_{i})}$, non compris dans les intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ choisis, ayant pour origine et extrémités des points de $\mathrm {E}$ et formant un ensemble $\mathrm {I} _{1}$ de mesure $\varepsilon$ au plus. Ceci est possible car $\mathrm {E}$ est parfait puisque, dans un intervalle ne contenant qu’un point isolé de $\mathrm {E}$, la fonction $\mathrm {G}$ serait, nécessairement absolument continue ; de sorte que $\alpha _{1}$, par exemple, qui est point de $\mathrm {E}$ et qui est origine de l’intervalle ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ contigu à $\mathrm {E}$, a nécessairement à sa gauche des points de $\mathrm {E}$ dans un voisinage aussi petit qu’on veut. On peut faire évidemment en sorte que les points de $\mathrm {E}$ de plus petite abscisse et de plus grande abscisse soient des points origine et extrémité d’intervalles de $\mathrm {I} _{1}$.

Choisissons de même un ensemble $\mathrm {I} _{2}$ formé d’un nombre fini d’intervalles, contenus dans les $\mathrm {I} _{1}$, limités par des points de $\mathrm {E}$ parmi lesquels se trouvent toutes les origines et extrémités des $\mathrm {I} _{1}$, et tels que, parmi les intervalles constituant le complémentaire de $\mathrm {I} _{2}$ se trouvent des intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ tels que l’on ait les inégalités

${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}>2$

pour tout intervalle ${(l,m)}$ de $\mathrm {I_{1}}$. Enfin $\mathrm {I} _{2}$ devra avoir une mesure inférieure à ${\frac {\varepsilon }{2}}$.

Il est clair qu’en continuant ainsi, on construira des ensembles $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {I} _{2}$, …, de mesures tendant vers zéro, dont chacun contient les suivants et tels par suite que les points communs à la fois à tous ces ensembles soient un ensemble de mesure nulle ${\mathcal {E}}$, fermé et même parfait. Parmi les intervalles contigus à ${\mathcal {E}}$ se trouvent en particulier tous les intervalles ${(\alpha _{p},\beta _{p})}$ qui ont servi à construire $\mathrm {I} _{1}$, tous ceux qui ont servi à construire $\mathrm {I} _{2}$, …. Donc la série ${\sum _{(\lambda ,\mu )}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ étendue aux intervalles contigus à ${\mathcal {E}}$ et situés dans un intervalle ${(\lambda ,\mu )}$ contenant à son intérieur des points de ${\mathcal {E}}$, est divergente. L’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur la partie de ${\mathcal {E}}$ située dans ${(\lambda ,\mu )}$ est non défini ; ${\mathrm {F} (x)}$ est non résoluble.

b. Lorsque la série ${\sum _{(l,m)}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ ne contient pas toujours