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CHAPITRE X.

nulle^[1], il suffirait d’enfermer le complémentaire de ${\mathcal {E}}$ à l’intérieur d’intervalles dont la mesure est inférieure à celle de l’intervalle total ${(a,b)}$ considéré pour que l’ensemble $\mathrm {E}$, formé des points non intérieurs à ces intervalles, soit un ensemble fermé de mesure non nulle en tous les points duquel la propriété aurait lieu.

Ceci étant, reportons-nous aux deux énoncés du début du paragraphe précédent pages 220 et 221.

Nous voyons que le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ d’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$, n’est égal à $-\infty$ que tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle. Car s’il n’en était pas ainsi, on pourrait trouver un ensemble fermé $\mathrm {E}$ de mesure non nulle en tous les points duquel ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)=-\infty }$ ; d’après le second énoncé de la page 220, on pourrait même supposer que ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est borné supérieurement pour les points $x_{0}$ de $\mathrm {E}$ ; le théorème de la page 221 s’appliquerait donc. Or il affirme que, sur $\mathrm {E}$, l’ensemble des points où ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)=-\infty }$ est de mesure nulle.

Plus généralement, l’ensemble des points où l’un des $\Lambda$ est égal à $-\infty$, au l’un des $\lambda$ à $+\infty$ est de mesure nulle.

Nous pourrons donc, dans ce qui suit, raisonner sur des ensembles fermés de mesure non nulle en les points desquels on n’aura ni ${\Lambda =-\infty }$, ni ${\lambda =+\infty }$.

Dans l’ensemble des points où une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ a son nombre dérivé supérieur à droite fini, ${\mathrm {F} (x)}$ a presque partout une dérivée approximative égale à ce nombre.

Supposons, en effet, qu’il existe un ensemble fermé de mesure non nulle $\mathrm {E}$ aux points duquel ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ soit fini sans être la dérivée approximative de ${\mathrm {F} (x)}$ et choisissons, page 220, un intervalle dans lequel les conditions d’application du théorème de la page 221 soient remplies. Alors, d’après ce théorème, la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ construite à l’aide de $\mathrm {E}$ a presque partout sur $\mathrm {E}$ une dérivée égale à ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$. C’est-à-dire que, presque partout sur $\mathrm {E}$, ${\mathrm {F} (x)}$ a une dérivée, prise sur $\mathrm {E}$, égale à ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ et par suite ${\mathrm {F} (x)}$ a, presque partout sur $\mathrm {E}$, une dérivée approximative égale à ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$.

1. Je suppose donc ici qu’il s’agit de propriétés telles qu’on sache que l’ensemble ${\mathcal {E}}$ des points pour lesquels la propriété a lieu est nécessairement mesurable.