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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

rapport à $v(x)$ sont, par définition, les mêmes, nous savons quels sont les ensembles mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$.

De plus, la mesure par rapport à ${\alpha (x)}$ d’un intervalle ${\mathrm {E} _{x}=(l,m)}$ est ${\alpha (m+0)-\alpha (l-0)}$, c’est-à-dire l’accroissement ${\mathrm {A} (\mu )-\mathrm {A} (\lambda )}$ subi par la fonction ${\mathrm {A} (v)}$, dans l’intervalle ${\mathrm {E} _{v}=(\lambda ,\mu )}$ transformé de ${(l,m)}$. Donc la mesure qui vient d’être définie n’est pas différente de la fonction complètement additive de l’ensemble $\mathrm {E} _{v}$ déterminée sur ${(0,\mathrm {V} )}$ par la fonction absolument continue ${\mathrm {A} (v)}$ ; les définitions mêmes de ces deux fonctions sont identiques. Ainsi on a

$m_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]=\int _{\mathrm {E} _{v}}{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$ ;

ce qui permet d’énoncer toutes les propriétés de la mesure à partir de celles connues des intégrales de fonctions sommables. Bornons-nous à cette indication et passons à l’extension de la notion d’intégrale.

Le problème d’intégration que nous avons résolu au Chapitre VII peut être énoncé ainsi :

Attacher à toute fonction $f$ définie dans ${(a,b)}$ un nombre ${\mathrm {I} (f)}$ tel que

1o	$\mathrm {I} (f_{1}+f_{2})=\mathrm {I} (f_{1})+\mathrm {I} (f_{2})$ ;
2o	$\mathrm {I} (f_{1}+f_{2}+\ldots )=\mathrm {I} (f_{1})+\mathrm {I} (f_{2})+\ldots$,
2o lorsque la série ${f_{1}+f_{2}+\ldots }$, est uniformément convergente ;

3^o et lorsque cette série est convergente et à termes positifs ;

4^o ${\mathrm {I} (f)}$ se réduit à l’intégrale connue de $f$ lorsque $f$ est continue ;

5^o ${\mathrm {I} (f)=\mathrm {I} (g)}$ si $f$ ne diffère de $g$ qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle.

Nous conserverons cet énoncé pour le prolongement de l’intégrale de Stieltjès ; seulement, l’intégrale et la mesure dont il est parlé aux n^os 4^o et 5^o seront maintenant l’intégrale et la mesure par rapport à ${\alpha (x)}$.

Il nous suffit pour traiter ce problème de reprendre, légèrement modifiés à cause de la condition 5^o, les raisonnements utilisés pour le prolongement d’une fonctionnelle linéaire, page 267,