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CHAPITRE XI.
a fortiori vers zéro et comme l’on a évidemment
,
il en résulte
,
c’est-à-dire
.
Ainsi les mesures extérieure et intérieure, par rapport à , d’un ensemble mesurable par rapport à sont égales. Leur valeur commune est la mesure de l’ensemble, prise par rapport avec .
Pour démontrer ce dernier point, remarquons que l’ensemble , étant enfermé dans les parties communes à et a pour mesure par rapport à au plus . A fortiori on a
;
d’où l’on tire
.
Ayant ainsi trouvé le seul nombre qui puisse satisfaire aux conditions du problème de la mesure, il resterait à vérifier qu’il y satisfait effectivement. Pour abréger, et pour revenir à des considérations antérieures, tirons cela de la correspondance entre ensembles situés sur et ensembles de qui nous a déjà servi[1] ; correspondance dans laquelle à tout point de on associe l’intervalle de . À tout intervalle correspond alors un intervalle dont la longueur est la mesure de par rapport à . Dès lors les ensembles mesurables par rapport à sont ceux qui fournissent des ensembles mesurables au sens ordinaire et l’on a pour eux,
.
Comme les ensembles mesurables par rapport à et par
- ↑ Voir page 259. Pour des démonstrations directes on pourra se reporter au Livre déjà cité de M. de la Vallée Poussin.