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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

et de manière analogue pour ${(a,x_{1})}$. Alors

${\begin{aligned}&\mathrm {F} (x_{i+i}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\\&\quad =f(x_{i})\left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]+\theta _{i}\varepsilon \left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]{\text{,}}\end{aligned}}$

$\theta _{i}$ étant compris entre −1 et +1 ; ceci s’écrit encore

${\begin{aligned}&\mathrm {F} (x_{i+i}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\\&\quad =f(x_{i})\,m_{\alpha (x)}\![x_{i}\leqq x<x_{i+1}]+\theta _{i}\varepsilon \left[\mathrm {V} (x_{i+1}-0)-\mathrm {V} (x_{i}-0)\right]{\text{,}}\end{aligned}}$

${\mathrm {V} (x)}$ désignant comme toujours la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$. D’où

${\begin{aligned}f(b-0)-f(a)&=f(a)\left[\alpha (x_{1}-0)-\alpha (a)\right]\\&\quad +\textstyle \sum f(x_{i})\left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]+\theta \varepsilon \mathrm {V} {\text{.}}\end{aligned}}$

De cette formule et de celle analogue relative à ${(a,x)}$, on déduirait facilement que, toutes les fois que $f(x)$ a une intégrale de Stieltjès-Riemann, ${\mathrm {F} (x)}$ est l’intégrale indéfinie de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$. Contentons-nous d’en déduire que si $f(x)$ est identique à zéro, ${\mathrm {F} (x)}$ est une constante, d’où il résulte que la fonction primitive, par rapport à une fonction donnée à variation bornée ${\alpha (x)}$, d’une fonction donnée $f(x)$ est déterminée à une constante additive près, puisque la différence de deux fonctions primitives de $f(x)$ a, par rapport à ${\alpha (x)}$, une dérivée identiquement nulle.

Reprenons la formule que nous venons de trouver

$\mathrm {F} (b-0)-\mathrm {F} (a)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\sum _{i=0}f(x_{i})\,m_{\alpha (x)}\![x_{i}\leqq x<x_{i+1}]}$,

formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe $\textstyle \sum$ la contribution de ${(a,x)}$ malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme pages 176 et suivantes, le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela $f(x)$ sommable par rapport à ${\alpha (x)}$ et soit $\mathrm {E} _{l}$ l’ensemble ${\mathrm {E} \left[l\varepsilon \leqq f(x)(l+1)\varepsilon \right]}$ ; enfermons $\mathrm {E} _{l}$ dans un ensemble $\mathrm {A} _{l}$ d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$, ne surpasse celle de $\mathrm {E} _{l}$ que de $\varepsilon _{l}$ au plus ; les nombres $\varepsilon _{l}$ étant choisis tels que les séries ${\textstyle \sum \varepsilon _{l}}$ et ${\textstyle \sum |l|\varepsilon _{l}}$ soient convergentes et de sommes $\eta$ et $\zeta$ très petites.

Assujettissons l’intervalle ${(x_{i},x_{i+1})}$ dont l’origine $x_{i}$ appartient