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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

après tous ceux de $\mathrm {S} _{0}$, pour obtenir une suite $\mathrm {S} _{1}$ dont la place du dernier élément ne pourrait être notée avec les symboles constituant $\mathrm {S} _{0}$. Ainsi $\mathrm {S} _{0}$ est non dénombrable ; mais avant tout élément de $\mathrm {S} _{0}$ il n’y a qu’une infinité dénombrable de nombres, au plus.

Ce fait est tout à fait analogue au suivant : la suite $s_{0}$ des nombres entiers est telle qu’avant tout élément de $s_{0}$ il n’y a qu’un nombre fini de nombres ; mais, comme l’addition d’un élément à toute suite finie donne une suite finie, la suite $s_{0}$ n’est pas finie.

Au cours de ces considérations, nous avons admis à plusieurs reprises comme évident, que le numérotage des éléments d’une suite ordonnée à l’aide des symboles successifs de $\mathrm {S} _{0}$, ne pouvait se faire que d’une façon. Par exemple, nous avons considéré comme clair que si l’on numérote les éléments de $\mathrm {S} _{0}$ en tant que termes d’une suite avec les éléments de $\mathrm {S} _{0}$ en tant que nombres, chaque élément est identique au nombre qui fixe son rang. On peut, sinon rendre ces faits plus clairs, du moins les présenter sous une forme à laquelle on est plus habitué, en disant :

Faisons correspondre les éléments de deux suites $\mathrm {S}$ et $\mathrm {T}$ de manière que les deux premiers éléments de $\mathrm {S}$ et $\mathrm {T}$ se correspondent et que, si les premiers éléments en nombre fini ou dénombrable de $\mathrm {S}$, soient $s$, $s'$, …, correspondent aux premiers éléments $t$, $t'$, … de $\mathrm {T}$, le premier élément de $\mathrm {S}$ après $s$, $s'$, … corresponde au premier élément de $\mathrm {T}$, après $t$, $t'$, … ; si ces deux éléments existent.

Montrons que cette correspondance est bien déterminée. En effet, il y a des éléments de $\mathrm {S}$ pour lesquels la correspondance est déterminée ; le premier élément de $\mathrm {S}$, par exemple. Considérons l’ensemble $\Sigma$ de tous les éléments de $\mathrm {S}$ pour lesquels la correspondance est déterminée ainsi que pour tous les éléments antérieurs. Alors, s’il restait encore des éléments dans $\mathrm {S}$ et dans $\mathrm {T}$, la correspondance, d’après sa définition même, serait encore déterminée pour le premier élément de $\mathrm {S}$ après $\Sigma$. Ceci serait en contradiction avec la définition de $\Sigma$ ; donc la correspondance est entièrement déterminée et épuise $\mathrm {S}$ ou $\mathrm {T}$, ou les deux. Dans ce dernier cas, on dit que les suites sont semblables.

Dans le cas où $\mathrm {S}$ est la suite $\mathrm {S} _{0}$ des nombres transfinis, il y aurait contradiction à supposer que la correspondance épuise $\mathrm {S}$ sans épuiser $\mathrm {T}$ : Toute suite est semblable à $\mathrm {S} _{0}$ ou semblable à un segment de $\mathrm {S} _{0}$. (Par un segment d’une suite, on entend tous les éléments qui précèdent un élément donné).

Toutes les suites non finies que nous rencontrerons, sauf $\mathrm {S} _{0}$, seront dénombrables ; elles seront donc semblables à un segment de $\mathrm {S} _{0}$. Or, un segment de $\mathrm {S} _{0}$ est entièrement déterminé par le nombre qui le suit ; à chaque suite dénombrable $\mathrm {S}$ nous pouvons attacher un nombre transfini $\alpha$ qui nous fait connaître les nombres finis et transfinis nécessaires au numérotage des éléments de $\mathrm {S}$. Ce nombre $\alpha$ nous donne ainsi un renseignement extrêmement important sur $\mathrm {S}$, mais ne nous permet naturellement pas de distinguer entre $\mathrm {S}$ et les suites semblables puisque, par définition, $\alpha$ est le