en supposant que le corps avant d'estre parvenu au point A soit tombé de la hauteur LA que j'appelle a) comme √DB + AL est a √AL et faisant le calcul on trouve xdz - zdx √a = xdx + zdz √z et supposanl x = yy:a il vient la mesme equation que je vous ai envoyée.
Je crois avoir découvert la maniere d'appliquer le calcul differentiel a l'invention de la ligne qui touche en rang une infinilé d'autres lignes données, je vous expliquerai ma pensée par un exemple, car je trouve qu'en ces sortes de matieres il faut toujours autant que l'on peut fixer ses idées. Soit donnée une courbe quelconque (lig. 43) ABG et supposant qu'il y ait une infinite de Paraboles CBF qui passent toutes par le point C et dont les sommets des axes soient dans la courbe ABC, il faut determiner la ligne qui les touche toutes. Il est clair que le point d'attouchement de chaque Parabole CBF est dans l'intersection G de CBF et de celle qui est infiniment proche Cbf. Cela posé, soient menées les droites BD, GE paralleles a AC et soient nommées les connues CD, x, DB, y, et les inconnues CE, u, EG, z, et on aura par la proprieté de la Parabole DF^2.HG^2 :: DB.HB ce qui donne 2uxy - uuy = xxz qui est l'equation commune à toutes les paraboles telles que CBF. Je considere maintenant que les inconnues u et z demeurent les mesmes pendant que les connues x, y changent, c'est pourquoi l'équation differentielle sera 2uxdy + 2uydx - uudy = 2xxdx, d'ou l'on tire, en mettant pour z sa valeur, u = (2yxdx - 2xxdy):(2ydy - xdy). or la nature de la courbe ABC etant donnée le rapport de dx a dy le sera aussi et partant la valeur de u ou de CE sera exprimée en termes entierement connus delivrés de differentielles. Si au lieu de paraboles on propose d'autres courbes, le probleme se resout de la mesme maniere, et si on vouloit avoir une equation a la maniere de Descartes qui exprimast la nature de la ligne qui passe par tous les points G, il faudroit en se servant de l’equation commune a toutes les Paraboles CBF, de celle de la courbe ABC, et de la troisieme qui resulte de deux differentielles, en trouver une ou les x et y ne rencontrassent plus et qui exprimait le rapport de u a z Soit par exemple la courbe ABC une demie Ellipse dont le grand axe est double du petit AC que j'appelle a, on trouvera uu = 4aa - 4az d'ou
