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vous en avoir dit quelque chose de vive voix. Je distingue l’Analyse (c’est à dire l’expression des valeurs) de la Geometrie, c’est à dire des moyens de construire. Je tiens la valeur de l’inconnue trouve analytiquement, lorsque je la puis exprimer absolument et purement par une formule veritable ; car quoyque cette formule ne soit pas tousjours propre à la construction, elle ne laisse pas d’estre tousjours le but de l’Algebre, qui cherche les valeurs pures, et on n’est jamais arrivé à la connoissance parfaite de l’inconnue qu’on cherche (faisant abstraction des lignes et nombres) que lorsqu’on a eu cette valeur, par exemple : x³ + p x seq. q equation generale, dont la racine est x aequ.

$+{\sqrt {q/2+{\sqrt {q^{2}/4+p^{3}/27}}}}+{\sqrt {q/2-{\sqrt {q^{2}/4+p^{3}/27}}}}$

qui est la veritable valeur de l’inconnue en tous les cas, non obstant la Variation des signes. Et il faut bien qu’elle soit la racine, puisqu’elle satisfait tousjours à l’equation.

Mais pour le vous prouver a priori, n’est il pas vray que

2 + y — 1 +2 — V — 1 est une grandeur veritable ? Ouy, sans doute, car elle vaut autant que 4. Or le cube de 2 + V — est + 2 + 1 1 V — \, donc V+2 + Viy est autant que 2 + V . Tout de mme V+ 2— 1 h f

est autant que 2 — V] donc + 2 + i\fZr\ f 4. 2 _ H f — 4 est autant que 4. Äinsi, si la racine de Cardan vous avoit donné cette formule

X aequ. V + 2 + \i V — 1 + r4-2 — iiV — 1, vous tireris la racine cubique de + 2 + 11 V — 1, et vous auris + 2 + V — 1, et de mme de +2 — 11 y — 1, vous auri +2 — V — 1, et joignant ensemble ces

deux racines, vous auries x egal à K+ 2 + 11 V — 1 + K + 2 — 1 1 V — 1, c’est à dire à + 2 + /HT-f- 2— T, c’est à dire à 4.^[1]

Mais pour tirer la racine cubique ou autre d’un tel binome, comme $2+11{\sqrt {-1}}$, la regle de Schoten qui est à la fin de son commentaire, ne suffit pas, et il faut une autre que j’ay trouve, et qui est sans comparaison plus generale et plus belle. Mais lorsque la racine ne se peut tirer d’un tel binome imaginaire, la somme composée des racines des deux binomes imaginaires V + a + V — b + V + a — V — b ne laisse pas d’estre tousjours une grandeur veritable, et la destruction de l’imaginaire se fait en

1. Leibniz bemerkt hierbei: il faut prendre garde que le quarré de ${\sqrt {-1}}$ est —1, et le cube en est $-1{\sqrt {-1}}$.