depuis Legendre, semblait avoir perdu son intérêt. Je n’en persiste pas moins à croire que la théorie des parallèles conserve toujours ses droits à l’attention des géomètres, et c’est pour cela que je me propose d’exposer ici ce qu’il y a d’essentiel dans mes recherches, en faisant d’abord remarquer, contrairement à l’opinion de Legendre, que les autres imperfections de principes, telles que la définition de la ligne droite, ne doivent point nous occuper ici, et sont sans aucune influence sur la théorie des parallèles.
Pour ne pas fatiguer le lecteur par une multitude de propositions dont les démonstrations n’offrent aucune difficulté, j’indiquerai seulement ici celles dont la connaissance est nécessaire pour ce qui va suivre.
1 — Une ligne droite se superpose à elle-même dans toutes ses positions. J’entends par là que, si l’on fait tourner autour de deux points de la ligne droite la surface qui la contient, cette ligne ne change pas de place.
2 — Deux lignes droites ne peuvent se couper en deux points.
3 — Une ligne droite, suffisamment prolongée dans les deux sens, pourra dépasser toute limite, et partagera ainsi en deux parties toute portion de plan limitée.
4 — Deux lignes droites perpendiculaires à une troisième, et situées dans un même plan que cette troisième, ne peuvent se couper, quelque loin qu’on les prolonge.
5 — Une ligne droite coupera toujours une autre droite, lorsqu’elle aura des points situés de part et d’autre de celle-ci.
6 — Des angles opposés par le sommet et ayant leurs côtés situés sur les prolongements les uns des autres sont égaux. Cette proposition est vraie aussi pour les angles dièdres.
