pour tout triangle sphérique dont la somme des trois angles est
on peut trouver un quadrilatère de même surface, ayant deux angles
droits et les deux côtés perpendiculaires égaux entre eux, et dont
chacun des deux autres angles est égal à
Soit maintenant
(fig. 19) le quadrilatère sphérique dont
les côtés
sont perpendiculaires sur
et dont les angles
en
et en
sont égaux chacun à
Prolongeons les côtés
et
jusqu’à leur rencontre en
et, au delà de ce point
portons encore sur le prolongement de
la longueur
et abaissons sur le prolongement de
l’arc perpendiculaire
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-19.png/500px-Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-19.png)
Fig. 19
Partageons l’arc total
en deux parties égales, et joignons le milieu
par des arcs de grands cercles aux points
et
Les triangles
sont égaux (prop. 15) ; on a donc
Les triangles
sont pareillement égaux, parce qu’ils
sont rectangles et ont les côtés de l’angle droit égaux. Donc
et
appartiennent à un même cercle ; l’arc
est égal à
L’arc
est pareillement égal à
l’angle
![{\displaystyle {\begin{aligned}HAD=HFE&={\frac {1}{2}}S-BAH={\frac {1}{2}}S-HFG={\frac {1}{2}}S-HFE-EFG\\&={\frac {1}{2}}S-HAD-\pi +{\frac {1}{2}}S.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6cc758313ce0ad3ad402074dfd42c348d6fbb5)
Donc l’angle
ou,
ce qui revient au même,
la mesure du fuseau
laquelle à
son tour est égale à celle du quadrilatère
comme on le voit
aisément, lorsqu’on passe de l’un à l’autre, en ajoutant d’abord le
triangle
puis le triangle
et retranchant ensuite les
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