soit égal à celui des deux nombres entiers
de sorte qu’on ait
![{\displaystyle s={\frac {n}{m}}s^{\prime },\qquad t={\frac {p}{q}}s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa8687ba149004e9074a1430ccb78c36f6b2ae7)
Partageons maintenant l’arc
par des axes en
parties égales ;
il y aura
de ces parties sur
et
sur
À ces parties égales
de
et de
correspondent aussi des parties égales de
et de
on a par conséquent
![{\displaystyle {\frac {t^{\prime }}{t}}={\frac {s^{\prime }}{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd09253f2972b396a1cb776aa087a4d4e4ae6b6)
D’après cela, de quelque manière que l’on prenne les deux arcs
entre les deux axes
le rapport de
à
restera
toujours le même. Si donc on pose, pour
on aura,
pour une valeur quelconque de
[1].
Le nombre
étant un nombre inconnu soumis à la seule condition
et d’un autre côté l’unité qui mesure la ligne
pouvant
être prise arbitrairement, on pourra, pour simplifier le calcul,
choisir cette unité de telle sorte que le nombre
devienne égal à la
base des logarithmes de Neper.
On peut encore remarquer que
pour
Donc non
seulement la distance de deux parallèles va en diminuant (prop. 24),
mais encore, lorsqu’on prolonge les parallèles dans le sens du parallélisme,
cette distance finit par s’évanouir. Les lignes parallèles présentent
donc le caractère des asymptotes.
- ↑ En effet, si l’on suppose la distance des axes
infiniment petite, d’où
l’équation précédente donne
![{\displaystyle {\frac {ds}{s}}={\frac {ds^{\prime }}{s^{\prime }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e23c2cc0a924eaf0ca363778ea5ec211933657)
donc
est constant, quel que soit
et l’on a, en considérant
comme fonction de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle d{\frac {ds}{s}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae4a73a663bdc10558e96249f8e2ff88f783bc7)
d’où,
et
étant des constantes arbitraires,
![{\displaystyle {\frac {ds}{s}}=Cdx,\qquad s=C^{\prime }e^{Cx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca1bab604b46465689cef01a656477c04823c81)
De plus,
décroît lorsque
croît (prop. 24). Donc
doit être moindre que
l’unité. En représentant ce nombre par
étant
on a l’équation qu’il s’agissait
de démontrer. (Note du traducteur)
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