Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/195

${\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{da}}=(a,b),$

et des expressions semblables pour les quantités $(a,c)$ et $(b,c).$ Soient de plus $a',\,b',\,c',$ les valeurs initiales des vitesses $x',\,y',\,z',$ lesquelles sont des fonctions arbitraires de $a,\,b,\,c\,;$ on aura, à l’origine du mouvement

$x=a,\quad y=b,\quad z=c\,;\quad x'=a',\quad y'=b',\quad z'=c'\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle se réduit à

${\frac {da'}{db}}-{\frac {db'}{da}}=(a,b)\,;$

donc, à cause que $(a,b)$ est une constante, on aura aussi, à un instant quelconque,

${\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{da}}={\frac {da'}{db}}-{\frac {db'}{da}}\,;$

et l’on en déduira, par la permutation des lettres,

${\begin{alignedat}{7}{\frac {dz}{dc}}{\frac {dz'}{da}}&-{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{dc}}&&+{\frac {dx}{dc}}{\frac {dx'}{da}}&&-{\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{dc}}&&+{\frac {dy}{dc}}{\frac {dy'}{da}}&&-{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{dc}}&&={\frac {dc'}{da}}&&-{\frac {da'}{dc}},\\{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{dc}}&-{\frac {dy}{dc}}{\frac {dy'}{db}}&&+{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{dc}}&&-{\frac {dz}{dc}}{\frac {dz'}{db}}&&+{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{dc}}&&-{\frac {dx}{dc}}{\frac {dx'}{db}}&&={\frac {db'}{dc}}&&-{\frac {dc'}{db}}.\end{alignedat}}$

Ces trois équations sont celles que M. Cauchy a formées d’une manière différente, dans le Mémoire cité. Il est facile de vérifier qu’elles sont identiques, lorsque la formule

$x'dx+y'dy+z'dz$