![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left[{\frac {da}{du}}(a)+{\frac {db}{du}}(b)+{\frac {dc}{du}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,u\\&+\left[{\frac {da}{dv}}(a)+{\frac {db}{dv}}(b)\,+{\frac {dc}{dv}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,v\\&+\left[{\frac {da}{ds}}(a)+{\frac {db}{ds}}(b)\,+{\frac {dc}{ds}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,s\\&+{\text{etc}}.,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dec3e3dd13e172c0fabad302279cb9e37fc1d8)
Or les variations
etc. étant arbitraires et indépendantes, les variations, en nombre égal,
etc.,
etc., le sont aussi ; les coëfficiens de chacune de celles-ci, doivent donc être égaux dans les deux membres de cette équation ; d’où il résulte d’abord
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(\varphi )=&{\frac {da}{d\varphi }}(a)&&+{\frac {db}{d\varphi }}(b)&&+{\frac {dc}{d\varphi }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\(\psi )=&{\frac {da}{d\psi }}(a)&&+{\frac {db}{d\psi }}(b)&&+{\frac {dc}{d\psi }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\(\theta )=&{\frac {da}{d\theta }}(a)&&+{\frac {db}{d\theta }}(b)&&+{\frac {dc}{d\theta }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.,&\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cee78640295f52fce7e83e14900fe8fe037db3)
et à cause que
etc., se trouvent dans le second membre, sans entrer dans le premier, on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\frac {da}{du}}(a)&+{\frac {db}{du}}(b)&&+{\frac {dc}{du}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\frac {da}{dv}}(a)&+{\frac {db}{dv}}(b)&&+{\frac {dc}{dv}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\frac {da}{ds}}(a)&+{\frac {db}{ds}}(b)&&+{\frac {dc}{ds}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\text{etc}}.,\ &\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845745dc3a1926750d1c0d8a5558f8effc5a8421)
Au moyen de ces valeurs de
etc., l’expression