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équation, et réduisant, on trouve

${\frac {dz}{d\gamma }}=-x.sin.\alpha -y.cos.\alpha \,;$

donc, en vertu de l’équation (9), on aura

$(\gamma )=sin.\alpha .\sum \left[z(x)-x(z)\right]-cos.\alpha .\sum \left[y(z)-z(y)\right]\,;$

ce qui est la même chose que

$(\gamma )dt=sin.\alpha .dl'-cos.\alpha .dl''.\qquad$(11)

3^o En observant que $dl=-(\alpha )dt,$ je tire des équations (10) et (11), les valeurs cherchées de $dl'$ et $dl'',$ savoir :

${\begin{alignedat}{3}dl'&={\frac {cos.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {cos.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&+sin.\alpha .(\gamma )dt,\\dl''&={\frac {sin.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {sin.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&-cos.\alpha .(\gamma )dt.\end{alignedat}}$

(18) Jusqu’ici, rien ne spécifie le plan que nous avons pris pour celui des coordonnées $p$ et $q\,;$ supposons maintenant que ce soit le plan du maximum des aires, dont la direction dépend, comme on sait, des valeurs des quantités $l,l',l'',$ de manière qu’il est invariable, lorsque ces quantités sont constantes, et qu’il change de direction ; quand elles deviennent variables. En appelant $k,$ la somme des aires relatives à ce plan, et observant que $cos.\gamma ,$ $cos.\alpha .sin.\gamma ,$ $sin.\alpha .sin.\gamma ,$ sont les cosinus des angles que l’axe des $r,$ qui lui est perpendiculaire, fait avec les axes des $z,\,y,\,x,$ on aura, d’après la théorie connue de la projection des aires,

$l=k.cos.\gamma ,\qquad l'=k.cos.\alpha .sin.\gamma ,\qquad l''=k.sin.\alpha .sin.\gamma \,;$