équation, et réduisant, on trouve
![{\displaystyle {\frac {dz}{d\gamma }}=-x.sin.\alpha -y.cos.\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d51d459071ba5f2a67832ffb7a027eae0c81b83)
donc, en vertu de l’équation (9), on aura
![{\displaystyle (\gamma )=sin.\alpha .\sum \left[z(x)-x(z)\right]-cos.\alpha .\sum \left[y(z)-z(y)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597310d78b529ee5d7a01b33f23e37700fd6aeeb)
ce qui est la même chose que
![{\displaystyle (\gamma )dt=sin.\alpha .dl'-cos.\alpha .dl''.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390ca0d523f444d7dea11e3b80de889387357b90)
(11)
3o En observant que
je tire des équations (10) et (11), les valeurs cherchées de
et
savoir :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}dl'&={\frac {cos.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {cos.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&+sin.\alpha .(\gamma )dt,\\dl''&={\frac {sin.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {sin.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&-cos.\alpha .(\gamma )dt.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad2f6a57e2f65e5e0903649bdc6be597a2828c9)
(18) Jusqu’ici, rien ne spécifie le plan que nous avons pris pour celui des coordonnées
et
supposons maintenant que ce soit le plan du maximum des aires, dont la direction dépend, comme on sait, des valeurs des quantités
de manière qu’il est invariable, lorsque ces quantités sont constantes, et qu’il change de direction ; quand elles deviennent variables. En appelant
la somme des aires relatives à ce plan, et observant que
sont les cosinus des angles que l’axe des
qui lui est perpendiculaire, fait avec les axes des
on aura, d’après la théorie connue de la projection des aires,
![{\displaystyle l=k.cos.\gamma ,\qquad l'=k.cos.\alpha .sin.\gamma ,\qquad l''=k.sin.\alpha .sin.\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e5f948ba397f2fd699c154d5ae6d9538bea001)