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vîtesses et la pression qui ont lieu en un point quelconque du fluide (n^o 1) ; et au moyen de l’équation (3), on déterminera, au même instant, la figure de sa surface.

(7) Lorsque la profondeur $h$ est très-petite et qu’on néglige les puissances de $h$ supérieures à la première, les intégrales disparaissent dans la valeur de $\varphi ,$ qui devient alors beaucoup plus simple. En effet l’équation (7) se réduit alors à $c^{2}=ga^{2}h\,;$ d’où l’on tire $c=a{\sqrt {gh}}\,;$ substituant cette valeur dans celle de $\varphi ,$ il vient

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.a\,t{\sqrt {gh}}}{a{\sqrt {gh}}}}.da\,d\alpha \\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.a\,t{\sqrt {gh}}.da\,d\alpha .\end{aligned}}$

En réduisant en série suivant les puissances de $e^{-ah},$ aura une expression de cette forme :

${\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}=\sum \mathrm {A} e^{-ak}\,;$

$k$ étant une quantité positive du même ordre de petitesse que $z$ et $h\,;$ $\mathrm {A}$ désignant un coëfficient indépendant de $\alpha$ et $\sum ,$ la somme d’une série infinie de termes semblables à $\mathrm {A} e^{-ak}.$ La seconde partie de la valeur de $\varphi$ deviendra donc

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{2\pi }}.\sum \mathrm {A} \iint &\operatorname {F} \alpha {\Big (}cos.\left(ax+at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big .}\\&{\Big .}+cos.\left(ax-at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big )}e^{-ak}da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$