![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =&\operatorname {F} x=\sum \mathrm {B} '\ \left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a'),\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\ fx\ =\sum \mathrm {B} c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e509a077ebb1e1390c16280a86e0d03590437f)
or, en comparant ces formules à l’équation (9), on voit qu’il faut prendre
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=-a\,\alpha ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\operatorname {F} \alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\\\mathrm {B} \;&={\frac {f\alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \,c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364ee565d568387a62c403119256c69eee3c1055)
et changer le signe
en une intégrale double relative à
et
Au moyen de ces valeurs l’équation (8) deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.c\,t}{c}}.da\,d\alpha \,;\\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.c\,t.da\,d\alpha \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa206d867243f74b8bb1f5b2d08fd4bccf56a90)
en supprimant, ce qui est permis, l’exposant infiniment petit
qui devrait s’ajouter aux exposans
et ![{\displaystyle -a(h-z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6ccc214d24632ec9c64fb89edd05229c033cc4)
La valeur de
étant ainsi exprimée sous forme finie, on pourra faire telles suppositions qu’on voudra sur les fonctions
et
qui se rapportent à l’état initial du fluide. Cette formule renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car les différences partielles de
par rapport à
et
feront connaître, au bout du temps
les