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ferme. On a supposé ${\frac {d\varphi }{dt}}=fx,$ quand $z=0$ et $t=0\,;$ si donc on compte le temps $t$ à partir de l’origine du mouvement, l’équation de la surface à cette origine sera, d’après l’équation (3), $gz'-fx=0\,;$ et comme elle doit être donnée dans chaque cas particulier, il s’ensuit que $fx$ sera aussi connue. Quant à $\operatorname {F} x,$ elle représente la valeur de $\varphi$ qui répond à $t=0\,;$ il serait aisé de prouver que cette quantité exprime la percussion qui a lieu à la surface du fluide, et qui imprime à ses molécules leurs vîtesses initiales : on pourrait donc aussi la supposer donnée en fonction de $x\,;$ mais pour éviter quelques difficultés que présente le cas des vîtesses initiales, nous nous bornerons à considérer celui où le fluide part du repos, et où par conséquent ces vîtesses sont nulles dans toute l’étendue de la masse fluide.

Dans ce cas, la fonction désignée par $\operatorname {F}$ sera nulle, ce qui fera disparaître la seconde partie de la valeur de $\varphi \,;$ de plus, nous mettrons $gfx$ à la place de $fx,$ afin que l’équation de la surface initiale soit $z'=fx,$ et que $fx$ représente l’ordonnée verticale d’un point quelconque de cette surface. Nous aurons alors

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha .e^{-az}cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t.{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da\,d\alpha .\qquad$(10).

Ainsi que nous l’avons expliqué au commencement de ce Mémoire, les ondes dont nous aurons à examiner la propagation seront censées produites par l’immersion d’un corps d’une forme donnée. Le fluide étant contenu dans un canal vertical, et les molécules ne devant pas avoir de vîtesse dans le sens de sa largeur, il faudra que ce corps