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soit un cylindre horizontal perpendiculaire aux parois du canal, et qui en occupe la largeur entière : on l’enfonce dans le fluide jusqu’à une certaine profondeur, et après avoir donné au fluide le temps de revenir à l’état de repos,. on retire subitement le cylindre et l’on abandonne le fluide à l’action de la pesanteur. L’immersion du cylindre détermine la figure initiale du fluide, en sorte que $fx,$ dans la partie où elle n’est pas nulle, est égale à l’ordonnée du contour de la partie plongée de la base, l’axe des $x$ étant la section à fleur d’eau de cette même base. Nous fixerons l’origine de ces abscisses, au milieu de cette section dont nous représenterons la largeur totale par $2l\,;.$ de cette manière $fx$ sera nulle pour toutes les valeurs positives ou négatives de $x,$ qui tomberont hors des limites $x=\pm l,$ et l’intégrale relative à $\alpha ,$ ne devra être prise que depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l$ (n^o 5).

Avant de développer les lois de la propagation de cet ébranlement, soit à la surface, soit dans l’intérieur du fluide, nous allons donner diverses transformations de l’équation (10), qui nous seront utiles dans cette discussion.

(10) Si nous mettons pour le cosinus compris sous l’intégrale double, son expression en exponentielles imaginaires, et que nous fassions

$a=u^{2},\qquad z+(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k,\qquad z-(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k',$

nous aurons

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha \left(e^{-ku^{2}}+e^{-k'u^{2}}\right).sin.ut{\sqrt {g}}.du\,d\alpha ,$

et les limites relatives à $u$ seront encore zéro et l’infini ;