(15) Pour obtenir les limites dont nous parlons, j’observe que chaque intégrale devant être prise depuis
jusqu’à
on peut la partager en deux portions : l’une depuis
jusqu’à
et l’autre depuis
jusqu’à
Dans la première partie, on a
![{\displaystyle sin.al-al.cos.al<{\frac {a^{3}l^{3}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4955bbccd452979f398e24a4a831ede593d1dae3)
comme on peut s’en assurer par le développement en série ; dans la seconde, on pourra supposer
![{\displaystyle sin.al-al.cos.al<1+al\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5528e08377cbd0bc65e43e942f4b70b7b893a2)
d’ailleurs l’exponentielle
et les sinus et cosinus de
et de
sont toujours moindres que l’unité ; mettant donc l’unité à la place de chacune de ces quantités, et remplaçant le facteur
par les limites de sa valeur, on en conclura, abstraction faite du signe,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'<&{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}da}{3}}+{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}&{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}{\sqrt {a}}da}{3}}+{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f386ba82d665121ba42418a176dd707af1ce02)
les intégrales indiquées par
devant être prises depuis
jusqu’à
et les autres, depuis
jusqu’à
En effectuant le calcul, on trouve
![{\displaystyle z'<{\frac {22h}{3\pi }},\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {104h}{9\pi \,l}}.{\sqrt {gl}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42147eaeb745019e0f518e70c8171e4afe5529b5)
pour les limites demandées.