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(18) Cela posé, voici comment on peut transformer l’intégrale relative à $a,$ dont les limites sont zéro et l’infini, en une autre plus simple dont les limites seront zéro et l’unité.

En faisant $a=v^{2},$ les limites relatives à $v$ restent les mêmes que part rapport à $a,$ et l’on a

${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da&=\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )+vt{\sqrt {g}}\right)dv\\&+\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )-vt{\sqrt {g}}\right).dv.\end{aligned}}$

Dans la première de ces deux intégrales relatives à $v,$ faisons

$v{\sqrt {x-\alpha }}+{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v't{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}},$

et dans la seconde

$v{\sqrt {x-\alpha }}-{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v''t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}\,;$

nous aurons

${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha )&.cos.t.{\sqrt {ga}}.da=\\&\quad {\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v'-1)dv'\\&+{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{''2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v''-1)dv''\,;\end{aligned}}$

et comme à $v=0$ répondent $v'=1$ et $v''=-1,$ et que pour $v={\frac {1}{0}},$ on a $v'={\frac {1}{0}},$ $v''={\frac {1}{0}},$ il s’ensuit que la première de ces deux nouvelles intégrales sera prise depuis $v'=1$ jusqu’à $v'={\frac {1}{0}},$ et la seconde, depuis $v''=-1$ jusqu’à $v''={\frac {1}{0}}.$ Or, en considérant ces limites avec un peu d’attention, il est facile de voir que la somme de ces deux intégrales définies est équivalente à celle-ci :