![{\displaystyle {\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t&{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(u^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'\\&+{\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(1-u)du\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e93942e061cef9716293fb8593f4e036b0a4cd9)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
et l’autre, depuis
jusqu’à
Mais par rapport à ces limites, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int cos.\left({\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'=0,\quad \int sin.{\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}.u'du'={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}},\\&\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u\,du={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a82a2cc0b7818f6af05573eade5b9bd8e1129e7)
et, en substituant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient ce résultat remarquable :
![{\displaystyle \int cos.(ax-a\alpha ).sin.t{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du,\quad (13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b2ebccf8a90c9e5ce957681ae8e708b24e055d)
au moyen duquel la valeur de
devient
![{\displaystyle z'={\frac {hgt^{2}}{2\pi \,l^{2}}}.\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du\,da.\qquad (14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dffecf4d8837f29d4bd064a556181ed76e306f)
Pour qu’il ne puisse rester aucun doute sur cette transformation, il est bon d’observer que cette valeur de
résulte immédiatement de l’équation (11) du no 10, еn y faisant
![{\displaystyle f\alpha ={\frac {h\left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)}{l^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a93e3731dbd5ee645f188a07a176804f77c1c7)
En effet, en vertu de l’équation (3) du no 1, on en déduit