![{\displaystyle z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}\left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943fdd0a98d3df613e8fe908d5b8bc11f4311820)
![{\displaystyle \left.+{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv\,d\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61c34f4810534a3d960d2debf975df388670330)
mais on a identiquement
![{\displaystyle \int \left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}-{\frac {gt^{2}v^{2}}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534198c42cf3859ee174beee7cb627e68ee6992b)
![{\displaystyle =(x-\alpha )v.\sin .{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3fd305df394310caf456379aae9d3cb1043273)
et comme cette quantité est nulle aux deux limites
et
la nouvelle valeur de
devient la même que la précédente, en y mettant
à la place de ![{\displaystyle v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b87f7afb1452b9d0e287f8ef746a9912c8333)
(19) Lorsque
est très-grande par rapport à
nous venons de le supposer, on peut remplacer, hors du cosinus,
par
et si, en même temps, la quantité
n’est pas très-grande par rapport à
on peut aussi mettre
à la place de
sous le cosinus. De cette manière, l’intégration relative à
s’effectue immédiatement : entre les limites
et
on a
et il en résulte pour
cette valeur approchée :
![{\displaystyle z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}.du.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13cefbd6edfe11bbac9891a081c666a58d042f44)
(15)
Elle se réduit sans difficulté en série suivant les puissances de
si l’on fait généralement
![{\displaystyle \int \left(1-u^{2}\right)^{n}du=\mathrm {A} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fc6f12365de83b72f795537cc754708ba36efd)
on aura d’abord