dant il faut observer que cette réduction du cosinus à l’unité, ne serait plus permise si le rapport
était devenu très-grand et du même ordre que
en sorte que le produit
fût une quantité finie qui pût avoir une valeur quelconque ; mais alors on tomberait dans le cas des vîtesses finales que nous avons considérées dans le no 13, et sur lesquelles il ne nous reste rien à dire : ce cas étant donc exclu, on pourra, sans crainte d’erreur, employer cette dernière valeur de
à la détermination des vîtesses que nous voulons examiner.
(26) En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {gt^{2}}{4z}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd99159895eed8d990a793ea3cf7d377a579e7d4)
cette expression devient
![{\displaystyle \varphi ={\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi {\sqrt {z}}}}e^{-q}.\int e^{qv^{2}}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a47e3adea00e4a1cee73cbfb02a98085ceb215)
et si l’on observe que
on en déduit
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}e^{-q}\left(\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv+(1-q)\int e^{qv^{2}}dv\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6ec9fdb293670012400d7c6b2f8a5e3ad82bd3)
mais en ayant égard aux limites
et
l’intégration par parties donne
![{\displaystyle \int e^{qv^{2}}qv^{2}dv={\frac {1}{2}}e^{q}-{\frac {1}{2}}\int e^{qv^{2}}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526355b61142887937312461a1c3ea1cc1460371)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}\left(1+(1-2q)e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9631ec7eb06af82a3b4965c2429a6e082a62b4)