§ IV.
Propagation du mouvement dans le sens de la profondeur du fluide, abstraction faite, comme précédemment, de l’une des dimensions horizontales.
(25) Pour simplifier la question, nous nous bornerons à considérer les molécules situées au-dessous de l’ébranlement primitif, à une profondeur très - grande par rapport à la largeur de cet ébranlement. Quelle que soit la forme du corps dont l’immersion a produit les ondes, s’il est symétrique par rapport à un axe vertical, et qu’on prenne cette droite pour axe des
les molécules situées sur cet axe n’auront aucune vîtesse horizontale ; ainsi, en supposant la symétrie du segment plongé, nous aurons seulement à examiner les lois des vîtesses dans le sens vertical, ou les valeurs de
Or, en faisant
dans l’équation (11) du no 10, et négligeant
relativement à
on a
![{\displaystyle \varphi ={\frac {gt}{\pi \,z}}.\iint f\alpha .e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4z}}}cos.{\frac {gt^{2}\alpha \left(1-v^{2}\right)}{4z^{2}}}dv\,d\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf15e73a3ac6583708bd672db84976bc41ddbeb)
remplaçant de plus le cosinus compris sous cette double intégrale par l’unité, et faisant
de manière que
représente l’aire du segment plongé, il vient
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}v^{2}}{4z}}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dfeb0ac93283dd9cf91dea77cae957f6752dc2)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
Cepen-