Maintenant soit
![{\displaystyle z'=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c2c4a47d20a32a8bf75e1eb40b55e4cc59be0d)
l’équation de la surface du fluide à l’origine du mouvement ; d’après l’équation (3) du no 1, l’ordonnée
de cette surface, déduite de notre valeur de
et correspondante à
sera
![{\displaystyle z'=\sum {\frac {\mathrm {B} c}{g}}\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100cbb5c6d82c7c5b7621dbac65f5ae0d60c60d9)
et pour la faire coïncider avec la valeur donnée, il faut, suivant le théorême général du no 5, prendre
![{\displaystyle a'=-a\alpha ,\qquad b'=-b\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3fde6dfeff354bcf37a675e3d9ef2fe2a4d5f8)
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {f(\alpha ,\beta )e^{-ka}e^{-k'b}gda\,db\,d\alpha \,d\beta }{\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\pi ^{2}c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e64d982ccd2e5abf6336a5c4ead7fa9dcd36f6e)
et changer le signe
en celui d’une intégrale quadruple, relative à
Substituant ces valeurs, dans celle de
supprimant les exposans infiniment petits
et
par rapport aux exposans
et
auxquels ils devraient être ajoutés, nous aurons enfin
![{\displaystyle \varphi ={\frac {g}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )Pcos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).{\frac {sin.c\,t}{c}}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2093456f5f6dafd25b9eedb57f6db1cf15cf52b7)
en faisant pour abréger
![{\displaystyle \left[{\frac {e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}{e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}\right]=\mathrm {P} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0c02a93ca2b1928b7a95067de56610107e3d96)