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et l’intégrale étant prise depuis $\alpha =-{\frac {1}{0}}$ et $\beta =-{\frac {1}{0}},$ jusqu’à $\alpha =+{\frac {1}{0}}$ et $\beta =+{\frac {1}{0}},$ et depuis $a=0$ et $b=0,$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}$ et $b={\frac {1}{0}}.$

(31) Cette valeur de \varphi, qui ne contient plus rien d’inconnu, renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car au moyen de ses différences partielles relatives à $t,\,x,\,y,\,z,$ on déterminera, pour un instant quelconque, la figure de la surface et les vîtesses horizontale et verticale de tel point qu’on voudra de la masse fluide. On y pourrait donner à la profondeur $h,$ de cette masse, une grandeur quelconque ; mais nous nous bornerons à considérer le cas où $h$ est regardée comme infinie ; cas dans lequel les valeurs de $\mathrm {P}$ et de $c$ se réduisent à

$\mathrm {P} =e^{-z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\qquad c={\sqrt {g}}{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}.$

Aux variables $a$ et $b,$ nous allons substituer des variables $u$ et $\omega ,$ qui nous seront plus commodes, et que nous supposerons telles qu’on ait

$a=u.cos.\omega ,\qquad b=u.sin.\omega \,;$

ce qui donne

$\mathrm {P} =e^{-zu},\qquad c={\sqrt {gu}}.$

Par les règles connues de la transformation des intégrales multiples, on aura en même temps,

$da\,db=u\,du\,d\omega \,;$

et il est aisé de voir que l’intégration qui devait se faire de-

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