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${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}&=u^{2}\int e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.^{2}\omega .d\omega \\&-{\frac {u}{\rho }}.\int e^{-zu}.sin.(u\rho .cos.\omega ).cos.\omega .d\omega \,;\end{aligned}}$

et comme on a identiquement

${\begin{aligned}u^{2}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.^{2}\omega .d\omega &-{\frac {u}{\rho }}.sin.(u\rho .cos.\omega ).cos.\omega .d\omega \\=&-{\frac {u}{\rho }}.d\left(sin.(u\rho .cos.\omega ).sin.\omega \right),\end{aligned}}$

il s’ensuit que le second membre de la dernière équation peut s’intégrer ; ce qui donne

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=-{\frac {u}{\rho }}.sin.(u\rho .cos.\omega ).sin.\omega \,;$

quantité qui est, en effet, nulle aux deux limites $\omega =0$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$

(33) Avant de s’engager plus avant dans une analyse assez épineuse, il n’est pas non plus inutile de vérifier que l’équation (a) redonne pour l’ordonnée $z'$ qui répond à $t=0,$ la valeur $z'=f(x,y)$ d’où l’on est parti.

On en déduit, pour cette ordonnée,

$z'={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).u\,du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta \,;$

expression dans laquelle il faudra faire $z=0,$ après l’ințégration effectuée. Soit

$\iint e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega ).du\,dw=\mathrm {Z} \,;$