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intégrant, par rapport à $u,$ depuis $u=0$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}},$ on aura

$\int {\frac {zd\omega }{z^{2}+\rho ^{2}.cos.^{2}\omega }}=\mathrm {Z} \,;$

ou bien, en faisant $tang.\omega =v,$ et intégrant par rapport à $v$

$\int {\frac {zdv}{z^{2}+\rho ^{2}+z^{2}v^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}.arc\left(tang.={\frac {zv}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)=\mathrm {Z} \,;$

donc, à cause que les limites relatives à $v,$ qui répondent aux limites $\omega =0$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ sont $v=0$ et $v={\frac {1}{0}},$ on aura simplement

$\mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}}.$

Remettant pour $\mathrm {Z} ,$ l’intégrale double que cette lettre représente, et différenciant ensuite par rapport à $z,$ on en conclut

$\iint e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).u\,du\,d\omega ={\frac {\pi \,z}{2\left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

et par conséquent

$z'={\frac {1}{2\pi }}\iint f(a,\beta ){\frac {zd\alpha d\beta }{\left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Or, si l’on conçoit que la variable $z$ devienne infiniment petite, il est évident que la quantité comprise sous le double signe intégral, sera aussi infiniment petite ou nulle, à moins que $\rho$ ne soit une quantité du même ordre que $z\,;$ ce qui exige, d’après la valeur de $\rho ,$ que les variables $\alpha$ et $\beta$ different infiniment peu de $x$ et $y\,;$ faisant donc

$\alpha =x+\alpha ',\qquad \beta =y+\beta ',\qquad \rho ^{2}=\alpha ^{'2}+\beta ^{'2},$