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$\int \left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{dt^{2}}}\right)d\omega ={\frac {2\pi }{t^{3}{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {12z}{gt^{2}}}+{\frac {180\left(z^{2}-{\frac {1}{2}}\rho ^{2}\right)}{g^{2}t^{4}}}\right.$

$\left.+{\frac {3360z^{3}}{g^{4}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right)$

D’ailleurs on a $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\alpha -2y\beta +\alpha ^{2}+\beta ^{2}\,;$ si donc on fait

$\iint f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta =\mathrm {A} ,\qquad \iint f(\alpha ,\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2})d\alpha \,d\beta =\mathrm {B} ,$

et si l’on suppose nulles les deux intégrales $\iint f(\alpha ,\beta )\alpha \,d\alpha \,d\beta ,$ $\iint f(\alpha ,\beta )\beta \,d\alpha \,d\beta ,$ condition qu’on peut toujours remplir en disposant de l’origine des coordonnées, l’équation (c) deviendra

$\varphi =-{\frac {2\mathrm {A} }{\pi \,g\,t^{3}}}-{\frac {24\mathrm {A} z}{\pi \,g^{2}\,t^{5}}}-{\frac {180\left[\left(2z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\mathrm {A-B} \right]}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}-{\frac {6720\mathrm {A} z^{3}}{\pi \,g^{4}\,t^{9}}}-{\text{etc}}.;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dz}}&=-{\frac {24\mathrm {A} }{\pi \,g^{2}\,t^{5}}}-{\frac {720\mathrm {A} z}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}-{\text{etc}}.,\\{\frac {d\varphi }{dy}}&=\quad {\frac {360\mathrm {A} y}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {d\varphi }{dx}}&=\quad {\frac {360\mathrm {A} x}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

On voit, par ces résultats, qu’après un temps un temps très-considérable, le mouvement horizontal des molécules fluides est insensible par rapport à leur mouvement vertical. La vîtesse finale, dans le sens vertical, est indépendante de leur coordonnées, et suit la raison inverse de la cinquième puissance du temps. Comme elle est négative, cela signifie que chaque