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très-grand, et du même ordre que \frac{r}{l} et \frac{r}{l'}. On ne peut plus alors faire usage de l’équation (b) pour déterminer z'\,; mais la valeur exacte de cette ordonnée, déduite de l’équation (d), est

$z'={\frac {hll'}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right)cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).su\,du\,ds\,d\omega \,d\psi \,;$

et il s’agit d’effectuer, s’il est possible, ces quatre intégrations relatives aux variables $u,\,s,\,\omega$ et $\psi .$

En remplaçant dans l’équation (13) du n^o 18, $x-\alpha$ par $\rho .cos.\omega ,$ on a

$\int cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.(t{\sqrt {gu}}).du={\frac {gt^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\,;$

l’intégrale relative à $v$ étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ On conclut de-là

$\int cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).u\,du$

$=-{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left({\frac {t^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\right),$

et par conséquent

$z'=-{\frac {hll}{2\pi ^{2}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right).cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {st^{2}dv\,ds\,d\omega \,d\psi }{\theta ^{2}.cos^{2}.\omega }}.$

Mettant de même $\rho .cos.\omega$ à la place de $x-\alpha ,$ dans l’équation (17) du n^o 21, il vient

${\frac {gt^{2}}{\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv=$

${\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}\right)$

$-{\frac {4}{gt^{2}}}\left(1+3.5\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)+3.5.7.9\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)^{2}+{\text{etc.}}\right)\,;$