or,
étant supposé très-grand par rapport à
on peut réduire à son premier terme la série comprise entre les parenthèses ; d’ailleurs, entre les limites données (no 37), on a
![{\displaystyle \iiint \left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\omega \,d\psi ={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb59e0eeb0a67f30531731757044b485e048a42)
la valeur de
deviendra donc
![{\displaystyle z'=-{\frac {hll'}{2\pi {\sqrt {2g\pi }}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiint \left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d794aa2a8f88a03089762796b28957a74077f89)
![{\displaystyle {\frac {\left(1-s^{2}\right)t\,s\,ds\,d\omega \,d\psi }{\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95afdffea8e7a8559379fb4f15eb724058ae7d9b)
On effectuera l’intégration relative à
dont les limites sont
et
en faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{cos.\omega }}=1+x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af30f69f1ceddb8e48c2fa3ac64ab0e3ee18303)
l’intégrale relative à
devra être prise depuis
jusqu’à
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{(cos.\omega )^{\frac {3}{2}}}}=2dx{\sqrt {\frac {1+x^{2}}{2+x^{2}}}}={\sqrt {2}}dx+x\mathrm {X} dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afb3b20f16c35af766b9c0917d202e8d75cd91b)
où l'on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {2x}{\left(2{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {2+x^{2}}}\right){\sqrt {2+x^{2}}}}}=\mathrm {X} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b91ea04fcfbf07d9a1826c429acb754f7b60d6)
il en résultera donc
![{\displaystyle \int cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}.{\frac {d\omega }{\cos ^{\frac {3}{2}}.\omega }}={\sqrt {2}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88af9e1ce46575f3cf52c1884d8dff02eff0c07e)
![{\displaystyle +\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.x\mathrm {X} \,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7454d2b1405e28700c4b346e0130e301a6af963f)