et faisant aussi, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {gt^{2}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}{4r^{2}}}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d69a0aec280df7f797d537704ff3ebd09b4e1d5)
la valeur de
deviendra
![{\displaystyle z'=-{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iint cos.\left({\frac {gt^{2}}{4\rho }}+kscos.(\psi -\theta ')\right).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi +{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0667f9149d50c10aa300e4b56b39df97d491d)
On s’assurera, comme dans le no 31, que cette quantité est indépendante de l’angle
qui disparaît par l’intégration relative à
faisant donc
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=-&{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right.\\&\left.-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint sin.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40711c8ab6b8c190cbdb532b823a059523280920)
La seconde intégrale comprise, entre les parenthèses, est nulle pour les limites
et
parce qu’elle se compose d’éléments égaux deux à deux et de signes contraires ; on peut ne prendre la première, que depuis
jusqu’à
pourvu que l’on quadruple le résultat ; on aura donc
![{\displaystyle z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{\pi \,gr}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf57b0da159085365992a87d3ed51fdd6a480a2)
Observons maintenant que
étant très-grand par rapport à
et à
et
très-grand par rapport à
la quantité désignée par
peut avoir telle valeur qu’on voudra ; si donc on effectue la double différentiation indiquée par rapport à