et qu’on mette pour
hors des sinus et cosinus, sa valeur en fonction de
savoir :
![{\displaystyle gt^{2}={\frac {4kr^{2}}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70975cb9e04005abb54e9a025722a6aacab24ba8)
on obtiendra un terme divisé par
et d’autres termes divisés par
ou même par
qui seront très-petits et que nous pourrons négliger relativement au premier. Nous pourrons aussi supprimer le terme
qui se trouvera divisé par
et au moyen de ces réductions nous aurons
![{\displaystyle z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'k}{\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193987d76220e991f5ad057f67101ffaaf66b001)
![{\displaystyle .\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi .\quad (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f696e5333317dc0d199559aad321a6493a0b5f71)
L’intégrale relative à
pourrait s’obtenir immédiatement ; mais il sera plus simple de faire
![{\displaystyle s.cos.\psi =a,\qquad s.sin.\psi =b,\qquad s\,ds\,d\psi =da\,db\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b7aae79f72cd6bae6fa20338c4ce708d5ffd1)
l’intégrale relative aux nouvelles variables
et
devra s’étendre à tous les points de l’aire d’un quart-de-cercle dont le rayon est l’unité ; il faudra donc intégrer depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi &=\iint \left(1-a^{2}-b^{2}\right)cos.ka.da\,db\\&={\frac {2}{3}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bb118e210e8fe98ee09746c278cb9f7e4e5ef6)
d’où il resulte enfin
![{\displaystyle z'={\frac {4{\sqrt {2}}hll'k}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a647a974a17f812a8d432c2cc65460bd8af20f48)