(42) L’intégrale qui reste à prendre, et dont les limites sont
et
ne peut pas s’obtenir exactement ; mais on en peut assigner une limite qui prouvera que la valeur de
ne croît pas indéfiniment avec le temps, et qu’au-contraire elle devient nulle, comme cela doit être, lorsque
devient infini.
En effet, en intégrant deux fois de suite par parties, et ayant égard aux limites
et
on trouve
![{\displaystyle k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da={\frac {3}{k}}\int {\frac {\left(1-2a^{2}\right).cos.ka}{\sqrt {1-a^{2}}}}.da\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c3a9afe10bb4f7a72bf1e23ffa884799b57fca)
or, entre ces limites, la quantité
n’est jamais plus grande que l’unité ; on aura donc, abstraction faite du signe,
![{\displaystyle k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da<{\frac {3}{k}}\int {\frac {da}{\sqrt {1-a^{2}}}}<{\frac {3\pi }{2k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcaa6abdf813981dcfa4dfeb31f11508749d827)
et comme
ne peut pas non plus surpasser l’unité, il en résulte
![{\displaystyle z'<{\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{kr{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ae811a9b5d2aa349709907796d29f12fa7cfb)
ou bien, en remettant pour
sa valeur,
![{\displaystyle z'<{\frac {8{\sqrt {2}}hll'r}{gt^{2}\left(l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a866dd817d81064a388ebfc61fe6a446e890140)
limite qui devient nulle, comme on voit, lorsque
devient infini.
(43) Si nous faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}.hll'k.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb0d6adcbc885849a5b848c43579be81fb6a794)