Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/319

précédente de $1-y$ deviendra

$1-y={\frac {(1\mp \sin .Az)\left[1\mp \sin .\mathrm {A} \left(z+{\frac {4}{p}}\mathrm {K} \right)\right]\ldots \left[1\mp \sin .\mathrm {A} \left(z+{\frac {4p-4}{p}}\mathrm {K} \right)\right]}{\cos .^{2}\alpha _{2}\cos .^{2}\alpha _{4}\ldots \cos .^{2}\alpha _{p-1}}},$

(8)

où l’on prendra toujours les signes supérieurs ou inférieurs selon que $p$ sera de la forme $4n+1$ ou $4n-1.$

Cette formule nous montre que la quantité $1-y$ ne changera pas, si l’on y met $z+{\frac {4}{p}}\mathrm {K}$ à la place de $z\,;$ car alors chaque facteur du numérateur se changera dans le suivant, et le dernier dans le premier. Il en résulte que $1-y$ ne changera pas non plus en y mettant $z+{\frac {4m}{p}}\mathrm {K}$ à la place de $z\,;$ $m$ étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Or, en faisant $z=0$ dans les premières expressions des facteurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} ',$ leur produit devient

$\mathrm {PP} '=\cos .^{2}\alpha _{2}\cos .^{2}\alpha _{4}\ldots \cos .^{2}\alpha _{p-1},$

à cause que l’on a

$1-\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} \right)=\cos .^{2}\alpha _{2m}.$

D’après la formule (7), on aura donc $1-y=1,$ ou $y=0,$ pour $z=0,$ et par conséquent pour $z={\frac {4m}{p}}\mathrm {K} .$

Maintenant l’équation (8) donne

$y=\mathrm {\frac {U}{V}} ,$

en prenant

$\mathrm {V} =\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right),$