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aussi les combiner avec les formules de Lagrange citées au commencement de ce rapport, lesquelles sont censées répondre à $p=2\,;$ il en résultera un nombre extrêmement grand de transformations réelles de la fonction elliptique de première espèce, lors même qu’on ne prendra pour $p$ que des nombres peu considérables.

On peut les multiplier encore en observant que si l’on a trouvé une équation entre $x$ et $y$ qui satisfasse à l’équation différentielle

${\frac {dx}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)}}}={\frac {\mu dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-h^{2}y^{2}\right)}}},$

on y satisfera aussi en mettant dans l’équation donnée, ${\frac {a+bx}{1+x}}$ et ${\frac {a'+b'y}{1+y}}$ à la place de $x$ et $y,$ et déterminant les constantes $a,b,a',b',$ de manière que l’équation différentielle reste la même ; ce qui exige qu’on ait identiquement

${\begin{aligned}&\left[(1+x)^{2}-(a+bx)^{2}\right]\left[(1+x)^{2}-k^{2}(a+bx)^{2}\right]=\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right),\\&\left[(1+y)^{2}-(a'+b'y)^{2}\right]\left[(1+y)^{2}-(a'+b'y)^{2}\right]=\left(1-y^{2}\right)\left(1-h^{2}y^{2}\right),\end{aligned}}$

et pourra se faire de plusieurs manières différentes.

Note C.

Mettons dans les formules (4) de la note précédente, à la place de $\theta$ et $k,$ l’angle $\psi$ et le module $h$ qui entrent dans les formules (3) : d’après ce qu’on vient de dire, il faudra en même temps mettre $k$ et ${\frac {1}{p\mu }}$ à la place du module $g$