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l’amplitude de la fonction donnée, mais aussi par rapport à son module.

Réciproquement, la même équation entre $\sin .\varphi$ et $\sin .\omega$ servira à la division d’une fonction de première espèce, en un nombre $p$ de parties égales. Pour cela, on y considérera $\sin .\omega$ comme une quantité donnée, et $\sin .\varphi$ comme une inconnue : cette équation sera du degré $p^{2}\,;$ mais on pourra la remplacer par les deux équations précédentes, l’une entre $\sin .\varphi$ et $\sin .\psi ,$ l’autre entre $\sin .\psi$ et $\sin .\omega ,$ et toutes les deux du degré $p$ par rapport à l’inconnue $\sin .\psi .$ L’équation du degré $p^{2}$ pourra donc toujours se décomposer en deux équations du degré $p,$ pourvu que l’on connaisse les valeurs de $\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)$ et $\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)$ qui répondent à la division des fonctions complètes $\mathrm {K}$ et $\mathrm {H} ',$ et dépendent, comme on sait, d’équations qui s’abaissent au degré ${\frac {1}{2}}\left(p^{2}-1\right).$ Dans le cas de $p=3,$ ces équations auxiliaires n’étant que du quatrième degré, on pourra résoudre complètement l’équation du neuvième degré, relative à la trisection d’une fonction donnée. La bisection répétée autant de fois qu’on voudra, ne dépend que d’équations du second degré ; on pourra donc aussi résoudre les équations relatives à la division en un nombre $n$ de parties égales, toutes les fois que $n$ n’aura d’autres facteurs que $2$ et $3,$ élevés à des puissances quelconques.

C’était là tout ce que l’on savait sur la division des fonctions elliptiques en parties égales, lorsque M. Abel s’est occupé de cette question, et qu’il est parvenu aux résultats énoncés à la fin du rapport.