Les premières recherches les plus importantes en ce genre sont dues à Euler et remontent à l’année 1753. Ce grand géomètre parvint, à l’aide de sa théorie de maximis et minimis aux trois équations qui expriment les relations qu’ont entre eux les six éléments d’un triangle sphéroïdique. Toutefois Clairaut, vingt ans auparavant, avait déjà signalé les principales propriétés du triangle sphéroïdique rectangle.
Des trois équations obtenues par Euler, la première est donnée en termes finis, et contient le rapport entre les azimuts de la ligne géodésique et les latitudes de ses extrémités ; la seconde exprime le rapport entre la différentielle de la plus courte distance et celle de l’une des latitudes données : la troisième fait connaître le rapport entre la différentielle de cette même latitude et celle de l’angle au pôle formé par les deux méridiens des extrémités de la ligne géodésique. Pour appliquer ces équations aux questions de pratique, il est donc indispensable d’intégrer les deux dernières ; mais c’est une opération que Euler regarda comme très-difficile et même comme impossible dans certains cas. Il était réservé à Dionis-du-Séjour d’aplanir cette difficulté d’analyse en faisant subir aux deux équations différentielles de la ligne la plus courte des transformations qui en simplifient la forme, et dans lesquelles les latitudes vraies sont remplacées par les latitudes réduites qui leur correspondent sur la sphère inscrite à l’ellipsoïde de révolution. On peut voir à ce sujet son Traité analytique du mouvement apparent des corps célestes, t. II, pag. 3.
Depuis lors d’autres géomètres mettant à profit cette heureuse idée, parvinrent à perfectionner et étendre la théorie des triangles sphéroïdiques obliquangles. C’est surtout à l’oc-
