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D’un autre côté l’on a, par ce qui précède, aux termes près du deuxième ordre,

$\omega =\varphi +{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda ,\qquad \sigma ={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],$

ou

$\omega =\varphi +{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda \,;$

partant, au même degré de précision,

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda _{0}\\\tau &=-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right].\end{aligned}}$

Concluons de là que

$\lambda =\lambda _{0}+\varepsilon {\frac {s}{b}}{\frac {\cot .\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}}{\sin .2\varphi }}+{\frac {1}{4}}\varepsilon {\frac {\sin .\lambda _{0}\cot .\varphi }{\cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],$

série dans laquelle $\cos .\lambda _{0}=\cot .\varphi \operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}.$

Le moyen d’avoir $\lambda$ avec plus d’exactitude serait de pousser la série précédente jusqu’aux termes du second ordre inclusivement ; mais il est plus simple de déterminer, à l’aide de cette valeur approchée, le côté $\sigma$ et l’angle opposé $\omega$ par les formules entières (C) (B), en négligeant toutefois les termes du troisième ordre ; ensuite d’évaluer cette latitude réduite par la relation

$\cos .\lambda ={\frac {\operatorname {tang} .\sigma }{\operatorname {tang} .\omega }},$

dans laquelle les angles $\sigma$ et $\omega$ seront alors connus et exacts aux quantités près du troisième ordre.

Quand on aura ainsi la valeur de $\lambda$ on passera à celle de $\lambda '$ ou de la latitude réduite du sommet de la perpendiculaire.