Cette valeur approchée servira à calculer la série (C) dont on conservera tous les termes, et l’on aura, avec l’exactitude requise,
![{\displaystyle \sin .\lambda ={\frac {\sin .\lambda '}{\cos .\sigma }},\qquad \sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda }{\cos .\lambda '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3329e6c3bee1ee5df4bd372dc0a50f90e130631)
et enfin la solution du premier cas fera connaître la longitude
ou bien l’on cherchera directement l’angle
comme dans le problème précédent, lequel sera donné par la relation
![{\displaystyle \sin .\omega ={\frac {\sin .({\frac {s}{b}}+\tau )}{\cos .\lambda '}}={\frac {\sin .\sigma }{\cos .\lambda '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cc5491489e1e7a7bd1c1a182e6f5e85a4010b8)
et l’on déduira ensuite l’angle
de la série (B) dont les éléments
et
seront connus par ce qui précède.
Ve Cas. Connaissant l’azimut
de la perpendiculaire et la différence
en longitude de ses extrémités, trouver les latitudes de ces points et la longueur de cette ligne de plus courte distance.
Solution. Comme dans le triangle sphérique
substitué au triangle sphéroïdique donné, on a la relation
![{\displaystyle \sin .\lambda '=\cot .\mathrm {V} '\cot .(\varphi +\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379b30bca80a6d1195c3b400ec12fe7f52fc9055)
lorsqu’on désigne par
tous les termes en
dans la série (P), ou ce qui est de même lorsqu’en fait
il s’ensuit que si
est la valeur de
correspondante à
on aura
![{\displaystyle \sin .\lambda '_{0}=\cot .\mathrm {V} '\cot .\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cece328dde5dda4dbc840c084a03953348256f)
et
![{\displaystyle \lambda '=\lambda '_{0}+\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059867710772f161d6ae4b9b6017b4f0cb5e29db)