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mais d’une part

$\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)=-{\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .^{2}\varphi \cos .\lambda _{0}'}}=-2{\frac {\operatorname {tang} .\lambda _{0}'}{\sin .2\varphi }}\,;$

d’autre part la série (B) donne, en ne conservant que le terme du premier ordre,

$\mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda ,$

ou bien assez exactemento

$\mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\,;$

partant,

$\lambda '=\lambda '_{0}-\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}{\frac {\operatorname {tang} .\lambda _{0}'}{\sin .2\varphi }}.$

On a d’ailleurs rigoureusement

$\cos .\omega =\cos .\sigma \sin .\mathrm {V} ',$

ou, aux quantités près du premier ordre,

$\cos .\sigma _{0}={\frac {\cos .\varphi }{\sin .\mathrm {V} '}},\quad {\text{et de plus}}\quad \operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot \mathrm {V} '}{\sin .\sigma _{0}}}\,;$

donc enfin tout est connu dans l’expression précédente de $\lambda '.$ Cette latitude réduite n’étant donnée qu’approximativement, les valeurs de $\lambda$ et $\sigma$ du même ordre se tireront des relations

$\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',\qquad \cos .\sigma ={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }}\,;$

alors en substituant celles-ci dans la série (B) on obtiendra $\omega$ aux quantités près du troisième ordre. Ensuite on aura $\sigma$ au même degré d’exactitude, à l’aide de cette formule rigoureuse

$\cos .\sigma ={\frac {\cos .\omega }{\sin .\mathrm {V} '}},$

et la ligne géodésique $s$ sera donnée par la série (A); enfin