latitude réduite
on aura dans le triangle sphérique substitué au triangle sphéroïdique donné,
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '=\mathrm {\frac {\cot .V''\sin .V'-\cos .\sigma \cos .V'}{\sin .\sigma }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3021f45e2fb02c792ee3e217ad78d9420bb87778)
en faisant, comme ci-dessus
D’un autre côté on sait, par le théorème précédent, que
et que
![{\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ec18e7bc46e684a23ab212895c9a5701b098cc)
par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '={\frac {\mathrm {\cot .V''\sin .V'-\cos .V'} \cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}{\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fff4767157a39f7e290b177784e484aeff9868c)
Il est donc évident que si
est ce devient
lorsque
on a, en général,
![{\displaystyle \lambda '=\mathrm {L} '+\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)\tau +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3b44aeee8579a1a942b8a89069341990d009cb)
Pour trouver le coefficient différentiel
le seul qu’il soit nécessaire d’évaluer quand on ne veut pas prolonger la série qui doit donner
au-delà des termes du second ordre, on opérera sur la relation
![{\displaystyle \cot .\mathrm {V} ''={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)+\cos .\mathrm {V} '\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}{\sin .\mathrm {V} '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8bd7cd38ca4af95cfbe608b61a8e949d9cb4e8)
en faisant varier
et
et l’on trouvera
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)=\mathrm {\cos .^{2}L'\cos .V'-\sin .L'\cos .L'} \cot .{\frac {s}{b}}=\mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c031595e19acb39c1a68f284897474a0394ba52)
expression dans laquelle