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d’où

$\operatorname {tang} .\lambda '={\frac {\sin .(\varphi +\mu )+\operatorname {tang} .V''\sin .\lambda ''\cos .(\varphi +\mu )}{\operatorname {tang} .V''\cos .\lambda ''}}.$

Si donc $\mathrm {L} '$ est ce que devient $\lambda '$ lorsque $\mu =0,$ on aura

$\operatorname {tang} .L'={\frac {\sin .\varphi +\operatorname {tang} .V''\sin .\lambda ''\cos .\varphi }{\operatorname {tang} .V''\cos .\lambda ''}}\,;$

et comme en général

$\lambda '=\mathrm {L} '+\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)\mu +\ldots ,$

que d’ailleurs

$\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)={\frac {\cos .^{2}\mathrm {L} '\left[\cos .\varphi -\operatorname {tang} .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''\sin .\varphi \right]}{\operatorname {tang} .\mathrm {V} ''\cos .\lambda ''}}=\mathrm {M} ,$

de il s’ensuit qu’on a

$\lambda '=\mathrm {L'+M} \mu +\ldots .$

Remarquons en outre que $\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {V} '',$ et qu’à cause de $\cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},$ on a

$\cos .\sigma '=\cos .\sigma '_{0}+\mathrm {M} \mu \cot .\mathrm {L} '\cos .\sigma '_{0},$

en faisant $\cos .\sigma '_{0}={\frac {\sin .\mathrm {L} '}{\sin .\lambda }}\,;$ partant

$\sigma '=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \cot .\mathrm {L} '\cot .\sigma '_{0}.$

D’un autre côté $\sigma ''$ se tire de la relation $\cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }}\,;$ de là

$\sigma ''-\sigma '=\sigma ''-\sigma '_{0}+\mathrm {M} \mu \cot .\mathrm {L} '\cot .\sigma '_{0}.$

Substituant cette valeur dans celle de $\omega ,$ il vient

${\begin{aligned}\omega &=\varphi +\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\left(6+\sin .^{2}\lambda \right)\right](\sigma ''-\sigma '_{0})\cos .\lambda \\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon \mathrm {M} \cos .^{2}\lambda \cot .\mathrm {L} '\cot .\sigma '_{0}.(\sigma ''-\sigma ')\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \sin .(\sigma ''-\sigma '_{0})\cos .(\sigma ''+\sigma '_{0}).\end{aligned}}$