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Ayant de cette manière la valeur de $\omega$ développée jusqu’aux quantités du second ordre inclusivement, on passera à celle de $\lambda '$ qui se tirera de la relation

$\operatorname {tang} .\lambda '=\mathrm {\frac {\sin .\omega +\operatorname {tang} .V''\sin .\lambda ''\cos .\omega }{tang.V''\cos .\lambda ''}} \,;$

plus l’on aura

$\operatorname {tang} .\mathrm {H} '={\frac {a}{b}}\operatorname {tang} .\lambda '.$

Quant à la ligne géodésique $s,$ à l’azimut $\mathrm {V} '$ et à la latitude $\lambda '',$ on en obtiendra les valeurs à l’aide des formules (2), (3), (A’) du § II.

Si l’on veut maintenant prolonger la série qui donne $\lambda ',$ rien n’est plus facile ; car la valeur exacte de $\mu$ est donnée par l’ensemble des termes en $\varepsilon$ et $\varepsilon ^{2}$ dans celle de $\omega ,$ et l’on a d’ailleurs

${\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\mu ^{2}}}\right)&=-2\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)^{2}\operatorname {tang} .\mathrm {L'-\sin .L'\cos .L'} \\\mu ^{2}&={\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\left(\sigma ''-\sigma '_{0}\right)^{2}\cos .^{2}\lambda .\end{aligned}}$

VII^e cas. Étant données les latitudes $\mathrm {H'H''}$ des extrémités de la ligne de plus courte distance $s$ et la différence en longitude $\varphi ,$ trouver cette ligne et les angles qu’elle fait avec les deux autres cótés du triangle sphéroïdique.

Solution. Soit, comme dans le problème précédent, $\omega ''-\omega '=\omega$ la différence de longitude sur la sphère inscrite ; la série (B’) donnera, en désignant par $\mu$ tous les termes en $\varepsilon$ et $\varepsilon ^{2}$

$\omega =\varphi +\mu \,;$

et si l’on considère le triangle sphérique correspondant au